Педагогика и образование » Методика обучения решению задач с параметрами на уроках алгебры основной школы » Содержание «линии задач с параметрами» в программе математики средней школы на примере учебников А.Г. Мордковича

Содержание «линии задач с параметрами» в программе математики средней школы на примере учебников А.Г. Мордковича

Страница 6

Найдем дискриминант:

D = (2p + 1)2 - 4(p2 + p - 2) = (4p2 + 4p + 1) - (4p2 + 4p - 8) = 9

Далее

Ответ: p + 2; p - 1.

В учебнике для углубленного изучения после этого решения помещено следующее замечание.

Данное уравнение можно решить устно, если заметить, что p2 + p - 2 = (p + 2)(p - 1). Переписав уравнение в виде x2 - (2p + 1)x + (p + 2)(p - 1) = 0, легко сообразить (с помощью теоремы Виета), что его корнями служат числа p + 2 и p - 1.

Пример 2. Решить уравнение px2 + (1 - p)x - 1 = 0.

Решение.

Это также уравнение с параметром p, но в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формуле корней квадратного уравнения. Дело в том, что про заданное уравнение мы пока не можем сказать, является ли оно квадратным.

Если p = 0, то получим линейное уравнение x-1=0, откуда получаем x = 1.

Если p ≠ 0, тогда можно применить формулы корней квадратного уравнения: D = (1 - p)2 - 4p(-1) = 1 - 2p + p2 +4p = (p + 1)2.

Ответ: если p = 0, то x = 1; если p ≠ 0, то x1 = 1, x2 = -1/p.

В учебнике после этого решения помещено замечание, объясняющее замену выражения выражением p + 1, вместо использования знака модуля |p + 1|. Вторым замечанием к решению этого примера является следующее. Квадратное уравнение px2 + (1 - p)x - 1 = 0 можно было решить, не применяя формулу корней. Достаточно заметить, что значение x1 = 1 удовлетворяет уравнению (при x = 1 получаем p + (1 - p) - 1 = 0 - верное равенство), и воспользоваться теоремой Виета, откуда сразу находится второй корень x2 = -1/p.

Как видно, в учебнике для углубленного изучения математики делается больше ссылок на использование теоремы Виета. Кроме того, в нем переходят к более употребительной для обозначения параметров букве а, в то время как в учебнике для общеобразовательных классов используют букву p.

Затем в рассматриваемом учебнике дается более точное определение понятие параметра, чем в учебнике для общеобразовательных классов, а именно: если дано уравнение f(x,a) = 0, которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой обозначено произвольное действительное число, то говорят, что задано уравнение с параметром. Основная трудность, связанная с решением таких уравнений, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение не имеет корней, при других - имеет; при одних значениях параметра корни находятся по одним формулам, при иных - по другим. Например, при решении примера 2 при p = 0 уравнение решалось как линейное (по одной формуле), а при p ≠ 0 - как квадратное (по другой формуле).

Далее демонстрируется решение линейного уравнения с подобными рассуждениями.

Пример 3. Решить уравнение с параметром а: 2a(a - 2)x = a - 2.

Решение. Обычно корень уравнения bx = c мы легко находим по формуле x = c/b, так как в конкретном уравнении коэффициент b отличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при x равен 2a(a - 1), и, поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль. Это будет при а = 0 или при а = 2. Рассмотрим следующие случаи:

1) Если а = 0, то уравнение принимает вид 0х = 2 - это уравнение не имеет корней.

2) Если а = 2, то уравнение принимает вид 0х = 0 - этому уравнению удовлетворяют любые значения х.

3) Если а ≠ 0, а ≠ 2, то коэффициент при х отличен от нуля, и следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7

Еще по теме:

Особенности словоизменения существительных у младших школьников с дисграфией
Исследование грамматического строя речи (Р.И. Лалаева, Л.Г. Парамонова, И.В.Прищепова, И.Н.Садовникова и др.) выявило у большого количества школьников младших классов значительное недоразвитие словоизменения, словообразования, синтаксической структуры предложения. Трудности формирования грамматичес ...

Причины умственной отсталости. Классификация по степени тяжести и этиопатогенетическому принципу
Изучение специфики умственной отсталости при олигофрении интенсивно велось в 50 —70-е гг. XX в. прежде всего такими известными отечественными клиницистами, как Г.Е. Сухарева, М.С. Певзнер, Д.Н. Исаев, В.В. Ковалев и др. Г.Е. Сухарева, преследуя задачи выявления клинических особенностей данной формы ...

Особенности речи при семантической афазии
По определению В. И. Селиверстова, семантическая афазия – это сенсорная афазия, проявляющаяся нарушением понимания речи вследствие невозможности установить отношения между словами при достаточной сохранности понимания значений отдельных слов, нарушается понимание фраз сложной грамматической констру ...

Педагогика как наука


Педагогика как наука

Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.

Категории

Copyright © 2024 - All Rights Reserved 0.0214