Можно выделить три типа таких преобразований:
1) Преобразование одной из частей неравенства.
2) Согласованное преобразование обеих частей неравенства.
3) Преобразование логической структуры.
Преобразования первого типа используются при необходимости упрощения выражения, входящего в запись решаемого неравенства. Преобразование одной из частей неравенства используют раньше всех других преобразований, это происходит еще в начальном курсе математики. Прочность владения навыком преобразований этого типа имеет большое значение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они применяются очень часто. Как избежать ошибок при покупке земельного участка.
Преобразования второго типа состоят в согласованном изменении обеих частей неравенства в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. Преобразования второго типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии неравенств.
Приведем примеры преобразований этого типа.
1) Прибавление к обеим частям неравенства одного и того же выражения.
2а) Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, принимающее только положительные значения.
2б) Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, принимающее только отрицательные значения и изменение знака неравенства на противоположный.
3а) Переход от неравенства a>b к неравенству f(a) >f(b), где f-возрастающая функция, или обратный переход.
3б) Переход от неравенства а<b к неравенству f(a) <f(b), где f - убывающая функция, или обратный переход.
Среди преобразований второго типа преобразования неравенств образуют сложную в изучении, обширную систему. Этим в значительной степени объясняется то, что навыки решения неравенств формируются медленнее навыков решения уравнений и не достигают у большинства учащихся такого же уровня.
К третьему типу преобразований относятся преобразования неравенств и их систем, изменяющие логическую структуру заданий. Поясним использованный термин логическая структура". В каждом задании можно выделить элементарные предикаты - отдельные уравнения или неравенства. Под логической структурой задания мы понимаем способ связи этих элементарных предикатов посредством логических связок конъюнкция или дизъюнкции.
Изучение и использование преобразований неравенств и их систем, с одной стороны, предполагают достаточно высокую логическую культуру учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований имеются широкие возможности для формирования логической культуры. Большое значение имеет выяснение вопросов, относящихся к характеризации производимых преобразований: являются ли они равносильными или логическим следованием, требуется ли рассмотрение нескольких случаев, нужна ли проверка? Сложности, которые приходится здесь преодолевать, связаны с тем, что далеко не всегда возможно привести характеризацию одного и того же преобразования однозначно: в некоторых случаях оно может оказаться, например, равносильным, в других равносильность будет нарушена.
В итоге изучения материала линии уравнений и неравенств учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.
Технологии воспитания в современной школе: управленческий аспект
Проблема воспитания нового поколения, которому суждено построить новую Россию, стоит сегодня особенно остро. В результате фундаментальных преобразований изменились общественно-политический строй и экономический уклад. Однако эти перемены произошли «сверху» и провозглашены в основном пока на законод ...
История развития понятия функции
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Пропедевтический период (с древнейших времен до 17 века). Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых, математичес ...
Основные проблемы воспитания самостоятельности музыканта
За последние десятилетия обучение пианистов в музыкальных учебных заведениях заметно улучшилось. Поступающие в училище свободно справляются с произведениями значительно более трудными, чем это предусмотрено программой ДМШ. Однако зачастую вскоре выявляется, что, будучи хорошо подготовленными пианис ...
Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.