Методические рекомендации по организации обучения теме «Обратные тригонометрические функции»

Основной целью занятий является расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, а также развитие их математических способностей. Кроме того, в настоящее время при изучении любого материала, а, в частности, и обратных тригонометрических функций, следует обращать особое внимание на те аспекты темы, усвоение которых необходимо для успешной сдачи ЕГЭ.

Введению понятия арксинуса, арккосинуса и арктангенса числа предшествует рассмотрение теоремы о корне, смысл которой достаточно очевиден для учащихся. Основное внимание здесь нужно уделить разъяснению смысла указанных понятий, а также формированию умения находить табличные значения (например, , , и так далее), что необходимо не только для безошибочного решения тригонометрических уравнений, но и для грамотной работы с самими функциями, так как среди заданий, предлагаемых на ЕГЭ, встречаются примеры типа: найти значение выражения , , и другие (это группа B) [7].

Тема «Обратные тригонометрические функции»изучается после преобразований тригонометрических выражений и доказательства тождеств (т.е. навыки работы с тригонометрическими формулами дети уже имеют). Тема предшествует изучению тригонометрических уравнений и неравенств, изучается не очень глубоко, но достаточно, чтобы уяснить определение этих функций. Необходимо жестко, требовательно сформировать понимание и запоминание определения этих обратных тригонометрических функций. Эти определения даются на основе самих тригонометрических функций, авторитарным методом, в качестве готовой информации (абстрактно-дедуктивно), после чего проводится работа по запоминанию определений. Необходимо требовать разъяснение определения из учебника, тогда ученикам будет легче ориентироваться в записи обратных тригонометрических функций. Сформулировав определения и дав основные понятия, неплохо проверить, поняли ли учащиеся смысл всего сказанного. Для этой цели можно предложить группу простых упражнений. Например, попросить ребят выполнить последовательность следующих заданий:

объяснить запись: arcsin π/4, arctg(–1) и т.д. (обязательно дать пример «на засыпку», например, чему равен arccos π);

– вычислить arccos π/2, arctg 1 и т.д.

Следует обратить особое внимание на области определения и области значений функций, промежутки их возрастания и убывания, так как эти вопросы составляют необходимую базу для решения примеров групп B и С единого государственного экзамена, например:

B5. Пусть есть решение следующей системы уравнений Вычислите значение .

С2. Найдите множество значений функции , заданной на отрезке .

Кроме того, важен акцент на самой математической сути аркфункций – даже в сильном классе зачастую не понимают, что аркфункция есть угол.

Для отработки необходимо большое количество тренировочных упражнений. Контроль со стороны учителя осуществляется за ходом и результатом решения.

Кроме того, при изучении этих функций полезно использовать геометрическую интерпретацию их как углов (дуг окружности), построенных надлежащим образом. Эта интерпретация естественна и логически обоснована, ведь аркфункции являются обратными к тригонометрическим функциям, рассмотренным на соответствующих промежутках. Аргументы же последних имеют широко известную интерпретацию как углы или дуги окружности.

Деятельность ученика становится более целенаправленной, если перед ним поставлена учебная задача по овладению обобщенным приемом решения задач. Поэтому обучение строится, основываясь на общих приемах решения.

Перед изучением новой темы необходимо актуализировать базовые знания (вспомнить о существовании обратных функций, привести примеры таковых). Требуется повторить тригонометрические функции, их свойства, графики. Обязательно повторить формулы приведения. Объяснение темы сочетается с наблюдением учащихся, с вопросами учителя и ответами учеников и может перерасти в беседу. Ученики под руководством учителя рассуждают, решают возникшие познавательные задачи. Обучение и закрепление рекомендуется проводить на конкретных примерах, усложняя их в течении урока от элементарных до сложных. Целесообразно подробно обсуждать ход решения каждой задачи, предлагать учащимся давать объяснения своих выводов. Если возможен не один способ решения упражнения, то рассматривать все возможные. Домашнее задание не надо слишком усложнять, достаточно дать ряд примеров, аналогичных тем, которые решались в классе, так как усложнение домашнего задания ведет к отказу выполнения данного задания. Контроль можно проводить либо с помощью самостоятельной работы, либо прибегая к тесту, который был разработан по теме «Обратные тригонометрические функции».