Разбивка задач с параметрами по темам в действующих учебниках для средней школы

Ответ: с < 2 ⇒ x ≥ 5/(2 - c);

c = 2 ⇒ ∅;

c > 2 ⇒ x ≤ 5/(2 - c).

7*.

Ответ: b < 3 ⇒ x ∈ ((2b+1)/(b -1); 2);

b = 3 ⇒ ∅;

b > 3 ⇒ x ∈ (2; (2b + 1)/(b - 1)).

Линейные неравенства с модулем

1*. | x - 3a | - | x + a| < 2a.

Ответ: a ∈ (-∞; 0) ⇒ x ∈ (-∞; 2a);

a = 0 ⇒ ∅;

a ∈ (0; +∞) ⇒ x ∈ (0; +∞).

2*. | x + 2| - | 2x + 8 | ≥ a.

Ответ: a < -4 ⇒ x ∈ [a - 6; -a - 6];

a ∈ [-4; 2) ⇒ x ∈ [a - 6; -a - 6];

a > 2 ⇒ x ∈ ∅;

a = 2 ⇒ x = -4.

Квадратные уравнения

1*. Для 0 < a < 1/4 решить уравнение:

Ответ:

2*. Найдите наибольшее из значений параметра, для которого существуют числа х и у, удовлетворяющие уравнению

Ответ:

3. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения

4x2 - 28x + a = 0 равна 22,5?

Ответ: таких а не существует.

4. Найти все значения параметра а, для которых уравнение

x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 имеет два положительных корня.

Ответ: a ∈ [4; +∞).

5. Найти все а, при которых оба корня уравнения (2a + 3)x2 + (a + 1)x + 4 = 0 заключены между -2 и 0.

Ответ:

6. При каких положительных значениях параметра а можно сократить дробь ?

Ответ: а = 4.

7. Решить уравнение:

(а - 1)x2 + 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0.

Ответ: если а < -4/5, то корней нет,

если а = 1, то х = -7/6,

если а ≥ -4/5,а ≠ 1, то

8. Решить уравнение

Ответ: если а = -1/3, то х = -2/3,

если а = 3/2, то х = -5/2,

если а = -4, то х = -8,

если а ≠ -1/3, 3/2, -4, то х1 = 2а, х2 = -а-1.

9. Решить уравнение:

Ответ: если a = 3, то х = -3,

если а = -3, то х =3,

если а ≠ ±3, то х1 = 3, х2 = -3.

10. Решить уравнение:

Ответ: если а = 1, а = 3,5, а = -1,5 то нет решений,

если а ≠1, а ≠ 3,5, а ≠ -1,5, то х =5/(а-1).

Квадратные неравенства

1. При каких значениях параметра а неравенство имеет решения?

Ответ: а <

2. При каких значениях а все пары чисел (х; у) удовлетворяющие неравенству, одновременно удовлетворяют и неравенству

Ответ: a = 0.

3. Для всех а ≥ 0 решить неравенство

Ответ: при а = 0, х ≤ 3,

при 0 < a < 1/12,

при а ≥ 1/12, х ∈ R.

4* При каких значениях параметра а множества решений неравенства

x2 + ax - 1 < 0 будет интервал длины 5?

Ответ:

График квадратного трехчлена

1. Какие знаки имеют параметры a, b, и с, если известно, что график функции

y = ax2 + bx + c проходит через точки (-4; 0), (0; -2), (-3; -2)?

Ответ: a > 0, b > 0, c < 0.

2. При каких значениях параметра а корни уравнения

(a - 2)x2 - 2ax + a + 3 = 0 положительны?

Ответ: a < 3, 2 ≤ a ≤ 6.

3. При каких значениях параметра а корни уравнения

(a - 2)x2 - 2ax + a + 3 = 0 меньше 3?

Ответ: a < 2, 15/4 < a ≤ 6.

4*. При каких значениях параметра а корни уравнения

(a - 2)x2 - 2ax + a + 3 = 0 заключены в интервале (1; 3)?

Ответ: а = 2, 15/4 < a ≤ 6.

Иррацирнальные уравнения

1. Решить уравнение

Ответ: х = а.

2*. Определить число корней уравнения

Ответ: если ≥ 4, то уравнение имеет единственный корень,

если < 4, то корней нет.

3. Решить уравнение

Ответ: если а < 1, то х1 = 1, х2 = а,

если а ≥ , то х = а.

4. При каких значениях параметра а уравнение имеет один корень?

Ответ: а < 0 или а = 4.

Рациональные неравенства

1. При каких значениях параметра а неравенство x2 - 2ах + 9 > 0 выполняется при всех х?

Ответ: -3 < a < 3.

2. При каких значениях параметра а неравенство

ax2 + 2(a + 1)x + 2a + 2 ≤ 0 выполняется при всех х?

Ответ: а ≤ -1.

3. При каких значениях параметра а неравентсво (x - a)(x - 2) ≤ 0 имеет единственное решение?

Ответ: а = 2.

4*. при каких значениях параметра а неравенство (x3 - 8)(a - x) ≥ 0 выполняется при всех х?

Ответ: а =2.

5*. При каких значениях параметра а в множестве решений неравенства

(1 - х)(х - а) ≥ 0 содержится пять целых чисел?

Ответ: -4 < a ≤ -3; 5 ≤ a <6.

В данной работе была реализована намеченная цель - разработать версию обучения учащихся решению задач с параметрами в средней школе.

При написании работы были решены поставленные задачи: изучить психолого - педагогические особенности учащихся, обосновывающие целесообразность обучения умению решать задачи с параметрами, проанализировать подходящее для этого учебное пособие по математике и программу по математике с точки зрения интересующего вопроса, составить версию обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметрами с подборкой основных заданий разного уровня, а также продемонстрировать важность обучения учащихся таким задачам.